已知椭圆（a＞b＞0），离心率为的椭圆经过点（，1）．（1）求该椭圆的标准方程...

已知椭圆

（a＞b＞0），离心率为 manfen5.com 满分网

的椭圆经过点（

，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e==，经过点（，1）即+=1可求得a2，b2；（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，从而问题得到解决．【解析】（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（，1）， ∴e==⇔==①，+=1②，由①②解得a2=8，b2=4， ∴该椭圆的标准方程为：+=1；（2）∵椭圆+=1的左焦点F1（-2，0）；设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0 由方程组得（2+1）x2+8x+8-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2= 由弦长公式得|AB|=•=，同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=•=，，由（1）k1•k2=-1得k2=-，代入得|CD|=， ∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|， ∴λ==+==，则存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

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考点分析：

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三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2 ）求证：AD⊥平面PBC；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．