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已知函数f(x)的图象关于原点对称,并且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.
确定函数为奇函数,设x<0,则-x>0,利用函数解析式,可得结论,从而可得函数的图象,即可求得函数的单调区间. 【解析】 ∵f(x)的图象关于原点对称, ∴f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 又f(x)在R上,∴f(0)=-f(0),解得f(0)=0. 设x<0,则-x>0, ∵当x>0时,f(x)=x2-2x+3, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x+3=-f(x) ∴f(x)=-x2-2x-3 于是有 图象如图所示, 由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调减区间为(-1,0),(0,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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