幂函数f（x）=xα过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x...

幂函数f（x）=x^α过点（2，4），求出f（x）的解析式并用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

欲求函数f（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．由定义进行证明即可，取0＜x1＜x2，我们构造出f（x2）-f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x2）-f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．【解析】由幂函数f（x）=xα过点（2，4），得 4=2α⇒α=2 f（x）=x2 ； f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x12-x22=x12-x22 =（x1+x2）（x1-x2） ∵x1，x2，∈（，+∞），且x1＜x2， ∴x1-x2＜0，x1+x2＞0 ∴（x1-x2）（x1+x2）＜0 即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2） ∴函数f（x）在（，+∞）上为增函数．

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考点分析：

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