定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足： ①对任意x，y∈（-1，1），都有...

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有 manfen5.com 满分网

；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3） manfen5.com 满分网

．

（1）令x=y=0，代入条件关系即可；（2）令-1＜x1＜x2＜1，然后构造f（x1）-f（x2），进而根据函数单调性的定义，进行判断即可；（3）令y=-x，判断函数f（x）的奇偶性，可利用f（x）为奇函数，将要证，转化为：也就是去证明，即证明；而=f（n+2）-f（n+1），利用累加法，结合函数f（x）在（-1，1）上是减函数即可证明结论成立．【解析】（1）令x=y=0，有2f（0）=f（0）， ∴f（0）=0；（2）令-1＜x1＜x2＜1，则 f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=， ∵-1＜x1＜x2＜1， ∴x1-x2＜0，1-x1•x2＞0， ∴， ∴，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0， ∴f（-x）=-f（x）， ∴f（x）为奇函数； ∴-f（）==，① ，② … ③ 将上式①②…③n个式子累加有 = =f（n+2）-f（2）=，又f（x）在（-1，1）上是减函数； ∴， ∴

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等