已知函数f（x）=ax2-|x|+2a-1（a为实常数）． （1）若a=1，求f...

（1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可． （2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论． （3）由“函数h（x）在区间[1，2]上是增函数”要转化为恒成立问题．可用单调性定义，也可用导数法． 【解析】 （1）a=1，f（x）=x2-|x|+1=（2分） ∴f（x）的单调增区间为（），（-，0）；  f（x）的单调减区间为（-），（）（4分） （2）由于a＞0，当x∈[1，2]时， ①若，即，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2 ②若，即， ③若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数： g（a）=f（2）=6a-3． 综上可得（10分） （3）在区间[1，2]上任取x1、x2， 则 =（*）（12分） ∵h（x）在[1，2]上是增函数 ∴h（x2）-h（x1）＞0 ∴（*）可转化为ax1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2] 且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1 ①当a=0时，上式显然成立 ②a＞0，，由1＜x1x2＜4得，解得0＜a≤1 ③a＜0，，得 所以实数a的取值范围是（16分）