已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点． （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，...

（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2-6x-3=0，再由弦长公式能求求出|AB|． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2-2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值． 【解析】 （1）∵，2c=2， ∴a=，b=， ∴椭圆的方程为．…（2分） 联立，消去y得：5x2-6x-3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， ∴|AB|= =• =．…（5分） （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵，∴， 即x1x2+y1y2=0， 由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0， 由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分） ∵，， ∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1， ∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2-（x1+x2）+1=0， ∴， 整理得：a2+b2-2a2b2=0．…（9分） ∴b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得 2a2=1+，∴，…（10分） ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴适合条件a2+b2＞1． 由此得，∴， 故长轴长的最大值为．…（12分）