已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-． （I）求实数a的值...

（Ⅰ）由f′（2）=-可求得a值，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求单调区间． （Ⅱ）该问题可转化为解不等式f（x）max＜g（x）max，进而转化为求函数的最值问题． （Ⅲ）要证明++…+＜（n∈N*，n≥2），只须证，即证，由f（x）的最大值得到一不等式，以此对该不等式左边各项进行放缩求和即可． 【解析】 （Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）． 由已知得：f′（x）=-a，f′（2）=-a=-，解得a=1． 于是f′（x）=-1=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数， 即f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∀x1∈（0，+∞），f （x1）≤f （1）=0，即f （x1）的最大值为0， 由题意知：对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈（-∞，0）使得f （x1）≤g（x2）成立， 只须f （x）max≤g（x）max． ∵g（x）==x++2k=-（-x+）+2k≤-2+2k，∴只须-2≥0，解得k≥1． 故k的取值范围[1，+∞）． （Ⅲ）要证明：++…+＜（n∈N*，n≥2）• 只须证， 即证， 由（Ⅰ）知，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数， ∴f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1， ∴当n≥2时，lnn2＜n2-1， 1-=1-， （1-+）+（1-+）+…+（1-） =n-1-+=， ∴++…+＜．