设数列{an}的前n项和为Sn，且（t-1）Sn=2tan-t-1（其中t为常数...

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t为常数，t＞0，且t≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（II）若数列{a_n}的公比q=f（t），数列{b_n}满足b₁=a₁，bn+1= manfen5.com 满分网

f（b_n），求数列{ manfen5.com 满分网

}的通项公式；
（III）设t= manfen5.com 满分网

，对（II）中的数列{a_n}，在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个 manfen5.com 满分网

（k∈N^*）后，得到一个新的数列：a₁， manfen5.com 满分网

，a₂，

，

，a₃，

，

，a₄…，记此数列为{c_n}．求数列{c_n}的前50项之和．

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列；（Ⅱ）确定数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{}的通项公式；（III）确定数列{cn}为：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…，再分组求和，即可求得数列{cn}的前50项之和．（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S1=2ta1-t-1，解得a1=1，由（t-1）Sn=2tan-t-1，得（t-1）Sn+1=2tan+1-t-1，两式相减得（t-1）an+1=2tan+1-2tan， ∴（常数）． ∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．…（4分）（Ⅱ）【解析】 ∵q=f （t）=，b1=a1=1，bn+1=f （bn）=， ∴=+1， ∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴．…（8分）（III）【解析】当t=时，由（I）知an=，于是数列{cn}为：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，… 设数列{an}的第k项是数列{cn}的第mk项，即ak=，当k≥2时，mk=k+[1+2+3+…+（k-1）]=， ∴m9=-45．设Sn表示数列{cn}的前n项和，则S45=[1+++…+]+[-1+（-1）2×2×2+（-1）3×3×3+…+（-1）8×8×8]． ∵1+++…+==2-， -1+（-1）2×2×2+（-1）3×3×3+…+（-1）8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82 =（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36． ∴S45=2-+36=38-． ∴S50=S45+（c46+c47+c48+c49+c50）=38-+5×（-1）9×9=-7．即数列{cn}的前50项之和为-7．…（12分）

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D-ABC的体积．

查看答案

现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

查看答案