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如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A. (Ⅰ)求实数b的值;...

manfen5.com 满分网如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
(I)由,得:x2-4x-4b=0,由直线l与抛物线C相切,知△=(-4)2-4×(-4b)=0,由此能求出实数b的值. (II)由b=-1,得x2-4x+4=0,解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得点A的坐标为(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,由此能求出圆A的方程. 【解析】 (I)由,消去y得:x2-4x-4b=0①, 因为直线l与抛物线C相切, 所以△=(-4)2-4×(-4b)=0, 解得b=-1; (II)由(I)可知b=-1, 把b=-1代入①得:x2-4x+4=0, 解得x=2,代入抛物线方程x2=4y,得y=1, 故点A的坐标为(2,1), 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2, 所以圆A的方程为:(x-2)2+(y-1)2=4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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