已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）求证：数...

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 manfen5.com 满分网

，求

的值．

（1）根据题意可证得=2，从而可求得an+1的通项公式，继而可得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可知an=2n-1，再由=可求得bn=（n2+n），利用裂项法可求得S=++…+的值．证明：（1）an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1），又a1=1， ∴a1+1≠0，an+1≠0， =2， ∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．即an+1=2n，因此an=2n-1． …（6分）（2）∵=， ∴=， ∴2bn-n=n2，即bn=（n2+n）．…（9分） ∴S=++…+ =2（1-+-+…+-） =2（1-） =．…（12分）

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考点分析：

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（2）设函数 manfen5.com 满分网