如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4...

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

（Ⅰ）连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点，由此能够证明AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B1F，则∠B1FB为二面角B1-DC-B的平面角，由此可得结论；（Ⅲ）三棱锥C1-B1CD的体积等于三棱锥D-C1B1C的体积，由此可得结论．（Ⅰ）证明：连接C1B，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC1的中点， ∵D是AB的中点，∴DE∥AC1， ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）【解析】过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B1F，则∠B1FB为二面角B1-DC-B的平面角 ∵AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，∴由等面积可得= ∴BF= ∵AA1=4，∴B1F= ∴二面角B1-DC-B的平面角的余弦值为=；（Ⅲ）【解析】三棱锥C1-B1CD的体积等于三棱锥D-C1B1C的体积，即==4．

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考点分析：

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在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

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