在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+t...

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC ∴sinB（）= ∴sinB•= ∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc ∴sinBsin（A+C）=sinAsinC， ∵A+B+C=π ∴sin（A+C）=sinB 即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2， ∴， ∵0＜B＜π ∴sinB= ∴△ABC的面积．

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