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已知椭圆manfen5.com 满分网的右焦点与抛物线manfen5.com 满分网的焦点F重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若过点A(-1,0)的直线与椭圆C1相交于M、N两点,求使manfen5.com 满分网成立的动点R的轨迹方程;
(3)若点R满足条件(2),点T是圆(x-1)2+y2=1上的动点,求|RT|的最大值.
(1)抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,设点P的坐标为(x,y),依据抛物线的定义,由,可求x.由点P在抛物线C2上,且在第一象限可求点P的坐标,再由点P在椭圆上及c=1,a2=b2+c2=b2+1,可求a,b,从而可求椭圆的方程 (2)设点M(x1,y1)、N(x2,y2)、R(x,y),则由,可得x1+x2-2=x-1,y1+y2=y.利用设而不求的方法可得设FR的中点为Q,由M、N、Q、A四点共线可得=,从而可得动点R的轨迹方程; (3)确定椭圆的左顶点,圆与x轴的交点坐标,即可求|RT|的最大值. 【解析】 (1)抛物线C2:y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1, 设点P的坐标为(x,y),依据抛物线的定义,由,得1+x=,解得x=. ∵点P在抛物线C2上,且在第一象限,∴=4x=4×,解得y=. ∴点P的坐标为(,). ∵点P在椭圆上,∴. 又c=1,且a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3. ∴椭圆C1的方程为. (2)设点M(x1,y1)、N(x2,y2)、R(x,y), 则=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),=(x-1,y). ∴+=(x1+x2-2,y1+y2). ∵+=, ∴x1+x2-2=x-1,y1+y2=y.① ∵M、N在椭圆C1上,∴,. 上面两式相减,把①式代入得. 当x1≠x2时,得.② 设FR的中点为Q,则Q的坐标为(,). ∵M、N、Q、A四点共线,∴kMN=kAQ,即=.③ 把③式代入②式,得,化简得4y2+3(x2+4x+3)=0. 当x1=x2时,可得点R的坐标为(-3,0), 经检验,点R(-3,0)在曲线4y2+3(x2+4x+3)=0上. ∴动点R的轨迹方程为4y2+3(x2+4x+3)=0. (3)4y2+3(x2+4x+3)=0可化为,中心为(-2,0),焦点在x轴上,左顶点坐标为(-3,0) ∵圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0) ∴|RT|的最大值为2-(-3)=5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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