已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）= （1）求h（x）=f（x）-g（x...

（1）求出h（x）的定义域，在定义域内解不等式h′（x）＞0，h′（x）＞0即得单调区间； （2）由（1）知h（x）min=h（0）=0，则当x＞-1时，f（x）≥g（x）恒成立，根据-1＜x1＜0＜x2时及f（x）、g（x）的单调性可得0＞f（x1）＞g（x1），f（x2）＞g（x2）＞0，再应用不等式的性质即可得到结论； （3）f2（x）-xg（x）=ln2（x+1）-，令F（x）=ln2（x+1）-，利用导数求出F（x）的单调区间，根据最值得一不等式，由此可证明； 【解析】 （1）h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-，x＞-1， h′（x）=-=， 令h′（x）＜0，得-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减； 令h′（x）＞0，得x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增． 故h（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）． （2）由（1）知h（x）min=h（0）=0，则当x＞-1时，f（x）≥g（x）恒成立， f′（x）=＞0，g′（x）=＞0， 则f（x），g（x）在（-1，+∞）上均单调递增． 易知：0＞f（x1）＞g（x1），f（x2）＞g（x2）＞0， 则-f（x2）g（x1）＞-f（x1）g（x2）， 即f（x1）g（x2）＞f（x2）g（x1）． （3）f2（x）-xg（x）=ln2（x+1）-， 令F（x）=ln2（x+1）-， F′（x）=-=， 令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x2+2x）， 则G′（x）=2ln（x+1）-2x， 令H（x）=2ln（x+1）-2x，则H′（x）=-2=， 当-1＜x＜0时，H′（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增； 当x＞0时，H′（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减， 故H（x）≤H（0）=0，即G′（x）≤0，则G（x）在（-1，+∞）上单调递减； 当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增； 当x＞0时，G（x）＜G（0）=0， 即F′（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减， 故F（x）≤F（0）=0，即f2（x）≤xg（x）．