已知函数． （1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围． ...

（1）由，知在[1，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数性质，能求出实数a的取值范围． （2）由g（x）=2x3+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x2+a，由a≥0时，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函数f（x）的解析式． （本小题满分14分） 【解析】 （1）， ∴在[1，+∞）上恒成立…（2分） 令 ∵恒成立， ∴h（x）在[1，+∞）单调递减…（4分） h（x）max=h（1）=0…（6分） ∴a≥0， 故实数a的取值范围为[0，+∞）．…（7分） （2）g（x）=2x3+ax-2，x＞0 ∵g′（x）=6x2+a…（9分） 当a≥0时，g′（x）≥0恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，无最小值，不合题意， ∴a＜0．…（11分） 令g′（x）=0，则（舍负） ∵0＜x＜时，g′（x）＜0；x＞时，g′（x）＞0， ∴g（x）在 上单调递减，在上单调递增， 则是函数的极小值点．．…（13分） 解得a=-6， 故．…（14分）