椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC...

椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2， manfen5.com 满分网

）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证： manfen5.com 满分网

为定值．

（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，即可确定椭圆的标准方程；（2）利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM，ON，OP的斜率之和为0，即可得到结论．【解析】（1）设椭圆T的方程为（a＞b＞0），由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，解得a=2， ∵c=2，∴=2．故椭圆T的方程为…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），由：，，两式相减，得到（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0 所以=，即，…（9分）同理，所以，又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，所以=0 …（13分）

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考点分析：

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如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值．