如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形A...

（I）取BP中点G，连EG，由E为PC中点，由三角形的中位线定理，结合F为OD中点，易得EG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形，进而EF∥GO，由线面平行的判定定理可得EF∥平面PBO； （Ⅱ）连CO，OP，过E作EN⊥OP于N，过N作NH⊥PF于H，由二面角的定义，可得∠NHE为二面角A-PF-E的平面角，解三角形NHE，即可求出二面角A-PF-E的正切值． 解（Ⅰ）证明：取BP中点G，连EG，由E为PC中点 故EG=BC，且EG∥BC 又∵F为OD中点 ∴OF=BC=OD，且OF∥BC∥OD ∴EG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形 ∴EF∥GO则EF∥面PBO （Ⅱ）连CO，OP，则BA∥CO，又AB⊥AD，面ABCD⊥面APD ∴CO⊥面APD 故面COP⊥面APD 过E作EN⊥OP于N，则EN⊥面APD 过N作NH⊥PF于H，连EH， 则EH⊥PF，故∠NHE为二面角A-PF-E的平面角 由于E为PC中点，故EN=CO=AB=1 ∵∠APD=90°，AD=4，PD=2 由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PF⊥AD 从而NH∥OD又N是DP的中点∴H为PF的中点 ∴NH=OF= ∴tan∠NHE==2 ∴二面角A-PF-E平面角的正切值为2．