已知函数f（x）=4x-a•2x+1+9，x∈[0，2]， （1）当a=4，证明...

（1）当a=4时，令t=2x，得f（x）=g（t）=（t-4）2-7，由指数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可证出y=f（x）是[0，2]上的单调递减函数； （2）根据指数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性法，可得区间[1，4]是（-∞，a]或[a，+∞）的子集，由此解关于a的不等式即可得出实数a的取值范围； （3）f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（x）的最小值大于或等于0．因此分3种情况求函数y=f（x）在[0，2]上的最小值，解关于a的不等式，最后综合即可得到实数a的取值范围． 【解析】 （1）a=4时，f（x）=4x-4•2x+1+9=4x-8•2x+9，x∈[0，2]， 设t=2x，得t∈[1，4]， f（x）=g（t）=t2-8t+9=（t-4）2-7 ∵t=2x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4）2-7在区间[1，4]上是减函数， ∴f（x）=4x-4•2x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数； （2）令t=2x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t2-2at+9， ∵t=2x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t2-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数 ∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集 由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）； （3）由（2）可得 ①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数， ∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5 综合可得：a≤1； ②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数， ∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤ 综合可得找不出实数a的取值； ③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增， ∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log2a）≥0，解之得-3≤a≤3 综合可得：1＜a≤3 综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．