已知函数f（x）=sinx+cosx （I）若，求sin2x的值； （II）求函...

（I）由题意可得sinx+cosx=，则平方可得sin2x的值． （II）利用二倍角公式求得 函数F（x）=sin（2x+）+1，由此求得最大值，令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即可得到函数F（x）的单调递增区间． 【解析】 （I）若，即 sinx+cosx=，则平方可得  1+sin2x=，sin2x=． （II）∵函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+1+sin2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1， 故函数F（x）的最大值为 ． 令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得  kπ-≤x≤kπ+，k∈z， 故函数F（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．