已知函数f（x）=x3+ax2+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2）...

已知函数f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

（I）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0可得f'（2）=0，然后解方程即可；（II）先求f'（x）=0的值，然后当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表，最后根据表格求出函数的最值即可．【解析】（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0 ∴f'（2）=0…（4分） ∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x 令f'（x）=0得x1=0，x2=2…（9分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表 x -1 （-1，0）（0，2） 2 （2，3） 3 f'（x） + - + f（x） -2 ↗ 2 ↘ -2 ↗ 2 …（11分）从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）

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考点分析：

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