已知函数f（x）=ex-ax，其中a＞0． （1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒...

（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，对其求导可得g′（t）=-lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a-alna≥1成立，即可得答案； （2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=-a，令φ（x）=f′（x）-k=ex-，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=et-t-1，求导可得F′（t）=et-1， 分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案． 【解析】 （1）f′（x）=ex-a， 令f′（x）=0，解可得x=lna； 当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a-alna， 对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a-alna≥1，① 令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt， 当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减， 故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1， 因此当且仅当a=1时，①式成立， 综上所述，a的取值的集合为{1}． （2）根据题意，k==-a， 令φ（x）=f′（x）-k=ex-， 则φ（x1）=-[-（x2-x1）-1]， φ（x2）=[-（x1-x2）-1]， 令F（t）=et-t-1，则F′（t）=et-1， 当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增， 则F（t）的最小值为F（0）=0， 故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et-t-1＞0， 从而-（x2-x1）-1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0， -（x1-x2）-1＞0，＞0，则φ（x2）＞0， 因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x∈（x1，x2），使φ（x）=0， 即f′（x）=K成立．