长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区...

（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径． （2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值． 【解析】 （1）因为四边形ABCD内接于圆， 所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理： AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC =42+22-2×2×4cos∠ADC、 所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π）， 故∠ABC=60°． S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120° =8（万平方米）． 在△ABC中，由余弦定理： AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC =16+36-2×4×6×． AC=2． 由正弦定理==2R， ∴2R===， ∴R=（万米）． （2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC， 又S△ADC=AD•CD•sin120°=2， 设AP=x，CP=y． 则S△APC=xy•sin60°=xy． 又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60° =x2+y2-xy=28． ∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy． ∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号 ∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9， ∴最大面积为9万平方米．