已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，且离心率为． （1）若过F1的直线交椭圆E于P...

（1）利用椭圆的第二定义，构建三角形，求得三边长，即可求得直线PQ的斜率； （2）求出椭圆方程，当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2；当两条直线斜率都存在时，求出AC，BD的长，表示出四边形ABCD面积为S=|AC||BD|，利用基本不等式，即可求得结论． 【解析】 （1）设椭圆的左准线为l，作PD⊥x轴于D，作PN⊥l于N，由第二定义得|PN|=|PF1|． 作QM⊥l于M，得|QM|=|F1Q|=|PF1|， 作QE⊥PN于E，交轴于点A得|EP|=4|AF1|=|PF1|， ∴|F1D|=3|AF1|=|PF1|， ∴|PD|=|PF1|， ∴直线PQ的斜率为±=； （2）由题意，b=1，又，∴a=2，b=1，c=， ∴椭圆方程为． ∵DB、AC为过焦点的两条直线，∴当AC为2a，DB⊥x轴时，面积有最大值，最大值为2； 当两条直线斜率都存在时，F1（-，0），设直线AC的方程为y=k（x-） 与椭圆联立消去y，（）x2-x+3k2-1=0 设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ∴|AC|=|x1-x2|== 同理可得|BD|=， ∴四边形ABCD面积为S=|AC||BD|=× 令t=，则t≥2，∴S=×=2×=2（1-） ∵t≥2，∴，∴≤S＜2 ∴四边形ABCD面积最小值为．