已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为直线与抛物线在x轴上方的...

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为 manfen5.com 满分网

直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为 manfen5.com 满分网

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（1）求抛物线的方程；
（2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

（1）由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），知过F且斜率为直线方程为y=，联立，得12x2-20px+3p2=0，解得M（），由此能求出抛物线的方程．（2）①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x，x＞0，则x=2，解得x=4，直线PQ过定点（4，0）．当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），由此入手能够证明直线PQ恒过定点（4，0）．（1）【解析】 ∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）， ∴过F且斜率为直线方程为y=，联立，得12x2-20px+3p2=0，解得x=，或x=， ∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M， ∴M（）， ∵过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，四边形OFMN的面积为， ∴=4，解得p=2， ∴抛物线的方程y2=4x．（2）证明：①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x，x＞0，则x=2，解得x=4，直线PQ过定点（4，0）． ②当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），联立，得k2x2-（8k2+4）x+16k2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，x1x2=16， ∴y1+y2=k（x1-4）+k（x2-4）=k（8+）-8k=， y1y2=k（x1-4）•k（x2-4） =k2[x1x2-4（x1+x2）+16] =k2[16-4（8+）+16]=-16． ∴|PQ|= = = =2． ∵线段PQ的中点A（4+，）， ∴|AO|==． ∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O．即假设成立，故直线PQ恒过定点（4，0）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等