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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C...

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,则p的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法得到•(y1+y2)=2p,因为过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以=1,AB方程为:y=x-,故y1+y2=2p,AB中点横坐标为,再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4,能求出p. 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①-②,得:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), ∴•(y1+y2)=2p, ∵过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点, ∴=1,AB方程为:y=x-, ∵为AB中点纵坐标, ∴y1+y2=2p, ∵,, ∴y1+y2=x1+x2-p, ∴x1+x2=y1+y2+p, ∵=, ∴AB中点横坐标为, ∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4, ∴,解得p=2. 故选B.
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考点分析:
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