已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b（b∈R），记．（Ⅰ）判断h...

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记 manfen5.com 满分网

．
（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂）．若f（x₁）=g（x₂），求实数b的值；
（Ⅲ）若2^xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

（I）判断知，此函数h（x）=2x- 是一个奇函数，由奇函数的定义进行证明即可；（II）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2），然后根据函数的单调性求出f（x1）与g（x2），建立等式，解之即可；（III）将m分离，然后根据函数的单调性求出另一侧函数在闭区间上的最值，即可求出m的取值范围．（本小题满分14分）【解析】（Ⅰ）函数为奇函数…（2分）现证明如下： ∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）由…（5分） ∴函数为奇函数…（6分）（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）max=f（x1），g（x）max=g（x2）…（7分） ∵f（x）=2x在区间[1，2]上单调递增， ∴，即f（x1）=4…（8分）又∵g（x）=-x2+2x+b=-（x-1）2+b+1 ∴函数y=g（x）的对称轴为x=1 ∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减 ∴g（x）max=g（1）=1+b，即g（x2）=1+b…（9分）由f（x1）=g（x2），得1+b=4，∴b=3…（10分）（Ⅲ）当x∈[1，2]时，即m（22x-1）≥-（24x-1）， ∵22x-1＞0，∴m≥-（22x+1）…（12分）令k（x）=-（22x+1），x∈[1，2] 下面求函数k（x）的最大值． ∵x∈[1，2]，∴-（22x+1）∈[-17，-5]， ∴k（x）max=-5…（13分）故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知函数

（1）判断函数f（x）在区间（-2，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（2）函数g（x）=log₂f（x），x∈[-5，-3]的值域为A，且C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}（a为常数），若A∩B=B，求实数a的取值范围．

查看答案

据报道：日本明治公司生产销售的“明治STEP”奶粉中检测出每千克奶粉中含30.8贝克勒尔的放射性核素铯．若某袋“明治STEP”奶粉中含a贝克勒尔的放射性核素铯，铯按每年10%衰减．
（1）求x年后，这袋“明治STEP”奶粉中放射性元素铯的含量M的表达式；
（2）由求出的函数表达式M（x），求这种放射性元素铯的半衰期T（T剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到1年．已知lg2=0.301 0，lg3=0.4771）

查看答案

已知函数f（x）=