设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）的...

设椭圆C：

过点（0，4），离心率为 manfen5.com 满分网

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．

（Ⅰ）由椭圆C：过点（0，4），离心率为，知，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），利用点差法能够求出过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程．【解析】（Ⅰ）∵椭圆C：过点（0，4），离心率为， ∴，解得a=5，b=4，c=3， ∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）设过点（3，0）的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点为M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆16x2+25y2=400，得 ①-②，得16（x1+x2）（x1-x2）+25（y1+y2）（y1-y2）=0， ∴32x（x1-x2）+50y（y1-y2）=0， ∴直线AB的斜率k==-， ∵直线AB过点（3，0），M（x，y）， ∴直线AB的斜率k=， ∴-=，整理，得16x2+25y2-48x=0．当k不存在时，16x2+25y2-48x=0也成立．故过点（3，0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是16x2+25y2-48x=0．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
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