数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+）． （Ⅰ）证...

（Ⅰ）要证一个数列为等比数列，就是要证明这个数列的每一项与它的前一项的之比是一个常数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=3n-1（n∈N*），又an+1=2Sn（n∈N+）可求n≥2时an通项，知a1=1，所以可求n∈N*时an通项． （Ⅲ）在Tn 的等式两边同乘以3得到一个新的等式，两式左右两边分别相减，再用等比数列的前n项和可求Tn 【解析】 （Ⅰ）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn，∴． 又∵S1=a1=1， ∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．…（4分） （Ⅱ）当n≥2时，an=2Sn-1=2•3n-2（n≥2）， …（8分） （Ⅲ） Tn=a1+2a2+3a3+…+nan， 当n=1时，T1=1； 当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31+…+2n•3n-2，…① 3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，…②…（11分） ①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1 = ∴．         …（13分） 又∵T1=a1=1也满足上式， ∴．                        …（14分）