如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=...

本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力． （1）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．则我们可以以A的原点，以AE，AF，及平面ABCD的法向量为坐标轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则锐二面角A′-FD-C的余弦值等于平面A′FD的法向量，与平面BEF的一个法向量夹角余弦值的绝对值． （2）设FM=x，则M（4+x，0，0），因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，根据空间两点之间距离公式，构造关于x的方程，解方程即可得到FM的长． 【解析】 （Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H，因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF， 又因为平面A′EF⊥平面BEF． 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则A′（2，2，），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）． 故=（-2，2，2），=（6，0，0）． 设=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量， -2x+2y+2z=0 所以6x=0． 取，则． 又平面BEF的一个法向量， 故． 所以二面角的余弦值为 （Ⅱ）设FM=x，则M（4+x，0，0）， 因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M， 故，，得， 经检验，此时点N在线段BC上， 所以． 方法二： （Ⅰ）【解析】 取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH． 因为A′E=A′F及H是EF的中点， 所以A′H⊥EF 又因为平面A′EF⊥平面BEF， 所以A′H⊥平面BEF， 又AF⊂平面BEF， 故A′H⊥AF， 又因为G、H是AF、EF的中点， 易知GH∥AB， 所以GH⊥AF， 于是AF⊥面A′GH， 所以∠A′GH为二面角A′-DH-C的平面角， 在Rt△A′GH中，A′H=，GH=2，A'G= 所以． 故二面角A′-DF-C的余弦值为． （Ⅱ）【解析】 设FM=x， 因为翻折后，C与A′重合， 所以CM=A′M， 而CM2=DC2+DM2=82+（6-x）2， A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=+（2+x）2+22， 故 得， 经检验，此时点N在线段BC上， 所以．