如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，BB1⊥平面A...

（I）取BC中点O，连接AO． 可由面面垂直的性质得到AO⊥平面B1C1CB，令B1C1中点为O1，以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出向量，，的坐标，用向量法可得⊥，⊥，进而由线面垂直的判定定理得到AB1⊥平面A1BD； （II）求出平面AA1D的法向量，结合（I）中结论为平面A1BD的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-A1D-B的余弦值； （Ⅲ）由（I）中为平面A1BD的法向量，求出向量的坐标，代入，可得点C到平面A1BD的距离． 【解析】 （I）取BC中点O，连接AO．  ∴△ABC为正三角形， ∴AO⊥BC． ∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面B1C1CB， ∴AO⊥平面B1C1CB， 取B1C1中点O1，以0为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0）， ∴=（1，2，-），=（-2，1，0），=（-1，2，）． ∵•=-2+2=0，•=-1+4-3=0 ∴⊥，⊥ ∴AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）设平面AA1D的法向量为=（x，y，z）． ∵=（-1，1，-），=（0，2，0）．⊥，⊥， ∴，即 令z=1得=（，0，1） 由（I）知AB1⊥平面A1BD， ∴为平面A1BD的法向量． ∴ ∴二面角A-A1D-B的余弦值为． （3）由（2），为平面A1BD的法向量， 又∵=（-2，0，0），=（1，2，-），． ∴点C到平面A1BD的距离．