线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，...

线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（Ⅰ）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（Ⅱ）设d=y+x-1，试求d的取值范围．

（Ⅰ）分类讨论：A，B，C不共线时，根据三角形中线的性质可求得2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2，进而利用两点间的距离公式代入等式中求得x和y的关系式；A，B，C三点共线时，|AB|+|AC|=6＞|BC|推断出A在线段BC外侧，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2也符合，从而可得函数f（x）的解析式，利用根号大于等于0的性质求得x的范围即函数的定义域．（Ⅱ）确定函数解析式，利用导数的方法，即可求d的取值范围．【解析】（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2，代入得2（22+y2）=x2+（6-x）2，又y≥0，得；…（4分）当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在线段BC外侧，由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，同时也满足：2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2．当A． B．C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）从而定义域为[1，5]．…（7分）（Ⅱ）∵，∴d=y+x-1=．令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，，两边对t求导得：， ∴d关于t在[-2，2]上单调递增． ∴当t=2时，dmin=3，此时x=1；当t=2时，dmax=7．此时x=5．故d的取值范围为[3，7]．…（15分）

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考点分析：

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