已知函数，． （I）当a=2时，求函数f（x）的单调区间； （II）若函数F（x...

（I）a=2，代入f（x），利用导数研究函数的单调性问题； （II）已知函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，将问题转化为F′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，再利用常数分离法进行证明； （III）要证明，可以令新的函数f（x）=2x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，对其进行求导，利用导数研究其导数，利用导数研究其最值，从而求解； 【解析】 （I）a=2，可得， 可得f′（x）==，（x＞0） 若f′（x）＞0，可得x＞，f（x）为增函数； 若f′（x）＜0，可得0＜x＜，f（x）为减函数； 函数f（x）的单调增区间：（，+∞]； 函数f（x）的单调减区间：（0，）； （II）函数F（x）=f（x）-g（x）=+ax+lnx--3lnx =+ax-2lnx- F′（x）=+a-+=≥0， 在区间[1，+∞）上大于等于0， 等价于-1+ax2-2x+a+1≥0， 可得a≥，求y=的最大值即可， 因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤=1， ∴a≥1； （ III）令f（x）=2x+1+-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1） 可得f′（x）=2x+1ln2--2xln2-ln2 =ln2（2x+1--2x-1）， 令g（x）=2x+1--2x-1， ∴g′（x）=2x+1ln2+-2，x≥1， 可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+-2＞0， g（x）为增函数，g（x）＞g（1）=4-2-1=， ∴f（x）为增函数， ∴f（x）＞f（1）=4+-2ln2+3=-2ln2＞0， ∴，即证；