已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的...

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．
（1）求证：直线MN必过定点，并写出此定点坐标；
（2）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．

（1）通过已知条件求出直线MN的方程，直线MN是直线系，即可得到直线过的定点，问题得到证明；（2）求出以AB和CD为直径的圆的方程，然后求两圆相交弦的直线方程，说明公共弦过原点O．∠OHT=90°．得到点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点）即可．【解析】（1）设AB斜率为k，将AB方程与抛物线方程联立，求得M，将k换为得N（2k2+1，-2k），由两点式得MN方程为（1-k2）y=k（x-3），则直线MN恒过定点T（3，0）；…（7分）（2）由抛物线性质，以AB、CD为直径的⊙M、⊙N的半径分别为xM+1，xN+1，于是可得两圆方程分别为和，两式相减可得其相交弦所在直线方程为（xM-xN）x+（yM-yN）y=，则公共弦过原点O．所以∠OHT=90°．于是，点H的轨迹是以OT为直径的圆（除去直径的两个端点），其轨迹方程为…（14分）

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考点分析：

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③若k=-2，则△ABC是锐角三角形；
④若k=2，则△ABC是锐角三角形．
以上四个命题中正确命题的序号是．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等