①建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用α，β表示，代入圆内方程求出范围．
②利用放缩法可得＜，＜，＜，进而证得＜2，进而根据柯西不等式，可求证出+3≥，综合后可得答案．
【解析】
以D为坐标原点，CD为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
直线BD的方程为x+3y=0
C到BD的距离为
∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x+1）2+y2=
设P（x，y），则=（x，y-1），=（0，-1），=（-3，0）
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∵
∴x=-3β，y=-α
∵P在圆内
∴（-3β+1）2+（1-α）2≤，
解得1＜α+β＜
②在△ABC中，a，b，c＞0
∴＜，＜，＜
∴＜++=2
又∵+3
=
=（a+b+c）（）
=[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（）≥（1+1+1）2=
∴≥
综上所述
（α、β∈R），求α+β的取值范围；
．
，则a-b＜1；
，则|a-b|＜1；
．
，∠BAC=θ，a=4．
的最值．
满足
，
，
，则
的最大值为 ．