已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2...

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列 manfen5.com 满分网

是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

（I）由条件可得数列{ }构成以为首项，以-为公差的等差数列，故 =- （n-1），从而得到bn．（II）先推出 =n，可得 ═n（n-1）（n-2）×…×3×2，得到nan=（n+1）!-n!+n 2n，进而得到 sn=（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．用错位相减法求得1×2+2×22+…+n2n 的值，即可得到sn的值．【解析】（I）∵bn+1=2bn-2n ，∴bn+1-2bn =-2n ，∴=-． ∴数列{ }构成以为首项，以-为公差的等差数列，∴=- （n-1）， ∴bn= ）．（II）∵bn=an-nan-1，∴an-2n=nan-1-n2n-1=n（ an-1-2n-1 ）， ∴=n， ∴=••… =n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a1=3，故 an=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2n， nan=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2n=（n+1）!-n!+n 2n， ∴sn=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×22+…+n2n ） =（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．令Tn=1×2+2×22+…+n2n，①则 2Tn=1×22+2×23+…+n 2n+1，② ①-②可得，-Tn=2+22+23+…-n 2n+1，∴Tn=（n-1）2n+1+2， ∴sn=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若 manfen5.com 满分网

，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

查看答案

工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量．
（1）求报废的合格品少于两件的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望．

查看答案

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， manfen5.com 满分网