已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）． （1）讨论函数f（x）在定义域内...

（Ⅰ），由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数． （Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故，由此能求出实数b的取值范围． （Ⅲ）由，令，则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，由此能够证明． 【解析】 （Ⅰ）， 当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立， 函数f（x）在（0，+∞）单调递减， ∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点； 当a＞0时，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得， ∴f（x）在上递减，在上递增， 即f（x）在处有极小值． ∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点， 当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分） （注：分类讨论少一个扣一分．） （Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，…（5分） ∴，…（6分） 令，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（8分） ∴，即．（9分） （Ⅲ）证明：，（10分） 令， 则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增， 又∵， 显然函数在（e-1，+∞）上单调递增．（12分） ∴，即g'（x）＞0， ∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增， 即， ∴当x＞y＞e-1时，有．（14分）