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已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R). (1)讨论函数f(x)在定义域内...

已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;
(3)当x>y>e-1时,求证:manfen5.com 满分网
(Ⅰ),由此进行分类讨论,能求出函数f(x)在定义域内的极值点的个数. (Ⅱ)由函数f(x)在x=1处取得极值,知a=1,故,由此能求出实数b的取值范围. (Ⅲ)由,令,则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增,由此能够证明. 【解析】 (Ⅰ), 当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立, 函数f(x)在(0,+∞)单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点; 当a>0时,f'(x)<0得,f'(x)>0得, ∴f(x)在上递减,在上递增, 即f(x)在处有极小值. ∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点, 当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.(4分) (注:分类讨论少一个扣一分.) (Ⅱ)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,…(5分) ∴,…(6分) 令,可得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,…(8分) ∴,即.(9分) (Ⅲ)证明:,(10分) 令, 则只要证明g(x)在(e-1,+∞)上单调递增, 又∵, 显然函数在(e-1,+∞)上单调递增.(12分) ∴,即g'(x)>0, ∴g(x)在(e-1,+∞)上单调递增, 即, ∴当x>y>e-1时,有.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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