已知函数f（x）=（mx+n）e-x（m，n∈R，e是自然对数的底） （1）若函...

（1）求导函数，利用函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0，可得f（1）=，f′（1）=-，从而可得函数的解析式，利用导数的正负可得函数的单调区间； （2）①对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立，构造函数可得φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个，由此可求m的最小值； ②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min＜g（x）max，1求导函数，分类讨论求出函数的最值，即可求得结论． 【解析】 （1）由题意，f′（x）= ∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-3=0 ∴f（1）=，f′（1）=- ∴， ∴m=1，n=1 ∴f（x）=（x+1）e-x，f′（x）= 令f′（x）＞0，可得x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增； （2）①当n=-1，m∈R时，，即m≥ 对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立 记φ（x）=，则φ′（x）= 记h（x）=，则h′（x）=＞0对于任意恒成立， ∴h（x）=在上单调递增 ∵ ∴φ′（x）=在上有唯一的零点x， ∴x∈（，x），φ′（x）＜0，x∈（x，2），φ′（x）＞0 ∴φ（x）在（，x）上单调递减，在（x，2）上单调递增 ∴φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个 ∴m≥φ（）且m≥φ（2） ∴m≥+2且m≥ ∴m的最小值为； ②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min＜g（x）max， ∵g（x）=xf（x）+tf'（x）+e-x=，∴g′（x）= 当t≥1时，在[0，1]上g′（x）≤0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0），∴2×＜1，∴； 当t≤0时，在[0，1]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1），∴2＜，∴t＜3-2e＜0； 当0＜t＜1时，在[0，t）上，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，t）上单调递减，在（t，1]上，g′（x）＞0，∴g（x）在（t，1]上单调递增，∴2g（t）＜max{g（0），g（1）} ∴2× 由（1）知f（t）=在[0，1]上单调递减，故， ∵ ∴2×无解 综上所述，存在t∈（-∞，3-2e）∪（3-，+∞），使得命题成立．