已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C：过A，F2两点． （1...

（1）由圆C：确定A，F2两点的坐标，即可求得椭圆方程； （2）设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），则可求，，利用β-α=，及差角的正切公式，即可证得结论； （3）利用两点间的距离公式，计算|PQ|2=12-4y，计算出（|PF1|+|PF2|）2，即可得到结论． （1）【解析】 圆与x轴交点坐标为，， 故，所以b=3， ∴椭圆方程是：． （2）证明：设点P（x，y），因为F1（-，0），F2（，0），则=tanβ=，=tanα=， 因为β-α=，所以tan（β-α）=-． 因为tan（β-α）==，所以=-． 化简得x2+y2-2y=3． 所以点P在定圆x2+y2-2y=3上． （3）证明：∵|PQ|2=x2+（y-3）2=x2+y2-6y+9，x2+y2=3+2y，∴|PQ|2=12-4y． 又|PF1|2=（x+）2+y2=2y+6+2x，|PF2|2=（x-）2+y2=2y+6-2x， ∴2|PF1|×|PF2|=2=4， 因为3x2=9-3y2+6y，所以2|PF1|×|PF2|=4， ∵β=α+＞，又点P在定圆x2+y2-2y=3上，∴y＜0， 所以2|PF1|×|PF2|=-8y， 从而（|PF1|+|PF2|）2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12-8y=12-4y=|PQ|2． 所以|PQ|=|PF1|+|PF2|．