如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边...

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解析】（I）证明：在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°， ∴AB=2 ∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3 ∴AB2=AC2+BC2 ∴BC⊥AC ∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD ∴BC⊥平面ACFE （II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1） ∴ 设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则， ∵是平面FCB的一个法向量 ∴ ∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值． ∴．

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考点分析：

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．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等