已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内...

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较 manfen5.com 满分网

的大小．

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况．（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考虑将1-lnx除到右边，为此分1-lnx正负分类求解．【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-．（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减， ∴在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=． ∴在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值． ∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）（Ⅱ）∵函数在x=处取得极值，∴a=1， f（x）=x-1-lnx， ∵f（x）≥bx-2，移项得（1-b）x＞lnx-1，再将b分离得出，b＜，令g（x）=，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0， ∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1-，所以b≤1-．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，有g（x）＞g（y），＞，整理得＞① 当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，当e＜x＜e2时，1-lnx＜0，由①得

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考点分析：

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（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
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（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

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