已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）． （1）若函数f（x）的定义域和值...

（1）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域． （2）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值． （3）根据函数零点与方程的关系可得f（x）在x∈[1，3]上有零点即f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解也即2a=在x∈[1，3]上有实数解则问题转化为求函数g（x）=x的值域． 【解析】 （1）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a] ∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减 ∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a] ∴a=f（1） ∴a=2 （2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数 ∴a≥2 ∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增 ∵f（1）≥f（a+1） ∴[f（x）]max=f（1）=f（a），[f（x）]min=f（a） ∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max-[f（x）]min ∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即可 ∴f（1）-f（a）≤4 ∴a2-2a+1≤4 ∴-1≤a≤3 ∵a≥2 ∴2≤a≤3 （3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点 ∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解 ∴2a=在x∈[1，3]上有实数解 令g（x）=x则g（x）在[1，]单调递减，在（，3]单调递增且g（1）=6，g（3）= ∴2≤g（x）≤6 ∴2≤2a≤6 ∴≤a≤3