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理科附加题： 已知展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…an...
理科附加题：
已知
展开式的各项依次记为a
1
（x），a
2
（x），a
3
（x），…a
n
（x），a
n+1
（x）．
设F（x）=a
1
（x）+2a
2
（x）+3a
3
（x），…+na
n
（x）+（n+1）a
n+1
（x）．
（Ⅰ）若a
1
（x），a
2
（x），a
3
（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x
1
，x
2
∈[0，2]，恒有|F（x
1
）-F（x
2
）|≤2
n-1
（n+2）．
（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值． （II）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证． 【解析】 （Ⅰ）依题意，k=1，2，3，…，n+1， a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为Cn=1，，， 所以， 解得n=8； （Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）= F（2）-F（0）=2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn 设Sn=Cn+2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn， 则Sn=（n+1）Cnn+nCnn-1…+3Cn2+2Cn1+Cn 考虑到Cnk=Cnn-k，将以上两式相加得：2Sn=（n+2）（Cn+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn） 所以Sn=（n+2）2n-1 所以F（2）-F（0）=（n+2）2n-1-1 又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立， 从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数， 所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2n-1-1＜（n+2）2n-1．
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考点分析：
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用数学归纳法证明：
+
+
+…+
＞
（n＞1，且n∈N
*
）．
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（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．
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已知矩阵A=
，向量
=[
]．求向量
，使得A
2
=
．
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已知
．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x
2
-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：
．
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已知圆O：x
2
+y
2
=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且
，试求此时弦PQ的长．
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
，试求此时弦PQ的长．
查看答案
+
+
+…+
＞
（n＞1，且n∈N*）．
，向量
=[
]．求向量
，使得A2
=
．
．
．