已知． （1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围； ...

（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）． （2）构造函数g（x）=x2-2x+k，若关于x的方程f（x）=x2-2x+k有实数解⇒f（x）=g（x）有实数解⇒g（x）min=g（1）≤f（x）max （法二）由f（x）=x2-2x+k分离系数k=，构造函数h（x）=，由题意可得，k≤h（x）max． （3）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f ⇒1+⇒，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证． 【解析】 （1）∵，∴ ∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0； ∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分） ∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值． ∴，解得0＜a＜1 （2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2-2x+k， 所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k-1， 又因为方程f（x）=x2-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2 解法二：∵f（x）=x2-2x+k，∴， 令h（x）=，所以h'（x）=+2-2x，当x=1时，h'（x）=0 当x∈（0，1）时，h'（x）＞0； 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0 ∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2 ∴当方程f（x）=x2-2x+k有实数解时，k≤2．） （3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而， ∴，∴，即 ∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜ ∴ 而n•f（n）=1+lnn， ，结论成立