设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）． （1）若在定义域内存在x，而使...

（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（-1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1 （2）解出g（x）=x+1-2ln（x+1）-a，原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围． 【解析】 （1）要使得不等式f（x）-m≤0能成立，只需m≥f（x）mix． 求导得f′（x）=2（1+x）-2，定义域为（-1，+∞）， ∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数； 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数． ∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1． （2）由f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）得： g（x）=（1+x）2-2ln（1+x）-（x2+x+a）=x+1-2ln（x+1）-a 原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根． 设h（x）=（1+x）-2ln（1+x）．∵h′（x）=1-，列表如下： ∵h（0）-h（2）=1-（3-2ln3）=2（ln3-1）＞2（lne-1）=0，∴h（0）＞h（2）． 从而有h（x）max=1，h（x）min=2-2ln2 画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图） 易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根， 只需：2-2ln2＜a≤3-2ln3， 即：a∈（2-2ln2，3-2ln3]．