已知函数f（x）=和图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是...

（1）求导数，根据函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，图象过坐标原点，即可求得实数b，c的值； （2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值； （3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x1，f（-x1）），根据OP⊥OQ，可得=-1，分类讨论，确定函数的解析式，利用=-1，即可求得结论． 【解析】 （1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，∴f′（x）=-3x2+2x+b ∵函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，∴f′（-1）=-5 ∴-3-2+b=-5，∴b=0 ∵f（0）=0，∴c=0 ∴b=0，c=0 （2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，∴f′（x）=-3x2+2x 令f′（x）=0有-3x2+2x=0，∴x=0或x= 令f′（x）＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或 ∴函数在-1，0，，1出取得最值 ∵f（-1）=2，f（0）=0，f（）=，f（1）=0 ∴函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0； （3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x1，f（-x1））， ∵OP⊥OQ，∴=-1 ①当x1=1时，f（x1）=0；当x1=-1时，f（-x1）=0，∴≠-1； ②当-1＜x1＜1时，f（x1）=，f（-x1）=，代入=-1，可得，∴，无解； ③当x1＞1时，f（x1）=alnx1，f（-x1）=，代入=-1，可得； 设g（x1）=（x1+1）lnx1（x1＞1），∴g′（x1）=lnx1+＞0，∴g（x1）是增函数 ∵g（1）=0，∴g（x1）值域是（0，+∞） ∴对任意给定的正实数a，恒有解，满足条件 ④由P，Q横坐标的对称性可得，当x1＜-1时，f（x1）=，f（-x1）=aln（-x1）， 代入=-1，可得 设h（x1）=（-x1+1）ln（-x1）（x1＜-1），∴h′（x1）=-ln（-x1）-＜0，∴h（x1）是减函数 ∵h（-1）=0，∴h（x1）值域是（0，+∞） ∴对任意给定的正实数a，恒有解，满足条件 综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．