设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a≥0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调...

（Ⅰ）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），在根据导数与单调性的关系求解即可 （Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可 （Ⅲ）要求对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只需求当x∈[-2，2]时f（x）max≤1，即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立，即求9-4a-2a2在a∈[3，6]的最小值． 【解析】 （Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax-a2= 当a=0时f′（x）≥0 ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞） 当a＞0时 由f′（x）＞0得x＜-a或， 由f′（x）＜0得， ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），， 单调递减区间为 （Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[-1，1]上单调递增， 则f（x）在[-1，1]上没有极值点； 当a＞0时∵ 由（1）知f（x）在上单调递增， 在上单调递减；则要f（x）在[-1，1]上没有极值点， 则只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根．∴，解得a≥3 综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0} （Ⅲ）∵a∈[3，6）， ∴≤-3 又x∈[-2，2] 由（1）的单调性质知f（x）max=max{f（-2），f（2）} 而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0 ∴f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m ∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立 ∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1 即m≤9-4a-2a2在a∈[3，6]上恒成立， ∵9-4a-2a2的最小值为-87 ∴m≤-87 故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0， 函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）， 当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为， 单调递减区间为， （Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}， （Ⅲ）m的取值范围为：m≤-87．