已知函数f（x）=x2+alnx． （1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间...

（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x=1时为零．然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+∞）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值； （2）在[1，+∞）上是单调函数，说明g（x）的导数g'（x）在区间[1，+∞）恒大于等于0，或g'（x）在区间[1，+∞）恒小于等于0．然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围． 【解析】 （1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分） 当a=-2时，．…（2分） 当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分） x （0，1） 1 （1，+∞） f'（x） - + f（x） 递减 极小值 递增 由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），极小值是f（1）=1．…（8分） （2）由，得．…（9分） 又函数为[1，+∞）上单调函数， ①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数， 则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立， 即不等式在[1，+∞）上恒成立． 也即在[1，+∞）上恒成立， 而φ（x）=在[1，+∞）上的最大值为φ（1）=0，所以a≥0．…（12分） ②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数， 根据①，在[1，+∞）上φ（x）max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．…（13分） 所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分） 综上，a的取值范围为[0，+∞）．…（16分）