已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（...

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明∃x∈（x₁，x₂），使 manfen5.com 满分网

成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有 manfen5.com 满分网

．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

（1）将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数．（2）令g（x）=f（x）-，再由函数零点的判定定理可证．（3）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=-1，且最小值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a=c=，b=，最后验证即可．解析：（1）∵f（-1）=0， ∴a-b+c=0，b=a+c ∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2 当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．（2）令，则， ∴ ∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．即∃x∈（x1，x2），使成立．（3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0 ∴⇒b=2a，b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c 由②知对∀x∈R，都有令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1 由得，当时，，其顶点为（-1，0）满足条件①，又⇒对∀x∈R，都有，满足条件②． ∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．

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考点分析：

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两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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