如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直，M、N分别是DE、AB的...

（Ⅰ）欲证MN∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCE内一直线平行，根据三角形的中位线可知MP∥AD∥BC，满足定理条件； （Ⅱ）先作二面角的平面角，作PO⊥AB于O点，连接OM，由平面ABCD⊥平面ABE，易得AD⊥平面ABE，再由线面垂直的性质定理得出∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角，然后分别求得，两直角边AD，MP的长度即可． 【解析】 （Ⅰ）证明：取AE的中点P，连接MP、NP． 由题意可得：MP∥AD∥BC， 又∵MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE ∴MP∥平面BCE，（3分） 同理可证NP∥平面BCE ∵MP∩NP=P ∴平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP， ∴MN∥平面BCE（5分） （其他做法请参照标准给分） （Ⅱ）【解析】 作PO⊥AB于O点，连接OM． ∵平面ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB， ∴AD⊥平面ABE． 又MP∥AD ∴MP⊥平面ABE（7分） 又∵PO⊥AB， ∴MO⊥AB． ∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角．（9分） 设AD=2易得：，∴．（12分）